\documentclass[11pt]{article} %\usepackage[8859-8]{inputenc} \usepackage[english,hebrew]{babel} \usepackage{color} %\usepackage{hebcal} \usepackage{culmus} \usepackage{courier} \usepackage{ulem} %\usepackage[HE8,OT1]{fontenc} %\usepackage{ccfonts} %\usepackage{float} % \usepackage{color} \usepackage{theorem} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{esvect} \usepackage{graphicx} \usepackage{epstopdf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} \usetikzlibrary{calc} %\usepackage{url} %\usepackage{listings} %\usepackage{a4wide} %\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} %\usepackage{graphicx,epsf} %\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.} \usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath} \usepackage{pgffor, ifthen} \newcommand{\notes}[3][\empty]{% \noindent \vspace{10pt}\\ \foreach \n in {1,...,#2}{% \ifthenelse{\equal{#1}{\empty}} {\rule{#3}{0.5pt}\\} {\rule{#3}{0.5pt}\vspace{#1}\\} } } \setlength{\textheight}{25cm} % \setlength{\textwidth}{6.6in} \setlength{\topmargin}{-0.8in} % \setlength{\textwidth}{6.6in} % \setlength{\textheight}{1.20\textheight} % \setlength{\oddsidemargin}{-0.25in} % \setlength{\evensidemargin}{-0.25in} %% \newcounter{parnum} %% \newcommand{\pg}{% %% \noindent\refstepcounter{parnum}% %% \makebox[\parindent][l]{\textbf{\arabic{parnum}.}}} % Use a generous paragraph indent so numbers can be fit inside the % indentation space. \usepackage{a4wide} \setlength{\parindent}{2em} \setlength{\textheight}{24.5cm} % \setlength{\textwidth}{6.6in} \setlength{\topmargin}{-0.9in} % \setlength{\textwidth}{6.6in} % \setlength{\textheight}{1.20\textheight} % \setlength{\oddsidemargin}{-0.25in} % \setlength{\evensidemargin}{-0.25in} \renewcommand*\rmdefault{david} \newcommand{\setB}{{\mathord{\mathbb B}}} \newcommand{\setC}{{\mathord{\mathbb C}}} \newcommand{\setF}{{\mathord{\mathbb F}}} \newcommand{\setN}{{\mathord{\mathbb N}}} \newcommand{\setQ}{{\mathord{\mathbb Q}}} \newcommand{\setR}{{\mathord{\mathbb R}}} \newcommand{\setZ}{{\mathord{\mathbb Z}}} \newcommand{\nk}[1] {\textcolor{red}{)#1 ð÷'(}} \newcommand{\red}[1] {\textcolor{red}{#1}} % \newcommand{\br}[1]{\left[{#1}\right]} %square bracets \newcommand{\brf}[1]{\left\{{#1}\right\}}%figure bracets \newcommand{\mb}{\left[\begin{array}} \newcommand{\me}{\end{array}\right]} \newcommand{\nik}[1] {){#1} ð÷'(} \newcommand{\ooiint}{\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}} %\newfont{\ta}{telaviv at 12pt} %\newfont{\tax}{telaviv at 10pt} \def\eps{\varepsilon} %\def\R{{\mathbb R}} % \pagestyle{plain} \pagenumbering{arabic} \renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}.} \def\eps{\varepsilon} %\newcommand{\setR}{{\mathord{\mathbb R}}} \newcommand{\Matrix}{{\mathord{\left[\begin{array}{r} x \\ x \\ x \\ \end{array}\right]}}} % \pagestyle{plain} \pagenumbering{arabic} % \newcommand{\widesim}[2][2.5]{ \mathrel{\overset{#2}{\scalebox{#1}[1]{$\sim$}}} } \newcommand{\bse}[1]{\left(\begin{array}{#1|c}} \def \ese {\end{array}\right)} \def\F{\vec{\bf F}} \def\hatu {\hat{\mathbf{u}}} \def\n{\hat{\bf n}} \def\r{\vec{\bf r}} \def\i{\hat{\bf i}} \def\j{\hat{\bf j}} \def\k{\hat{\bf k}} \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}} \def\u{{\bf u}} \def\v{{\bf v}} \def\w{{\bf w}} \def\z{{\bf z}} \def\a{{\bf a}} \def\b{{\bf b}} \def\c{{\bf c}} \def\d{{\bf d}} \def\f{{\bf f}} \def\p{{\bf p}} \def\q{{\bf q}} \def\e{{\bf e}} \def\N{{\bf N}} \def\0{{\bf 0}} \def\C{{\rm Col}} \def\r{\rm rank} \def\-{\L{-}} % \vskip 5cm \def \image {\mathrm{Im}} \def \ker {\mathrm{ker}} \def\Nu{{\rm Nul}} \def\l{\lambda} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\part{\partial} \def \bd {\left|\begin{matrix}} \def \ed {\end{matrix}\right|} \def \bbm {\begin{bmatrix}} \def \ebm {\end{bmatrix}} \def \sp {\mathrm{sp}} \def \tr {\mathrm{tr}} \def \rp {\mathrm{Re}} \def \ip {\mathrm{Im}} \def \cis {\mathrm{cis}} \def \bm {\left(\begin{matrix}} \def \em {\end{matrix}\right)} \def \usualop {áéçñ ìôòåìåú äøâéìåú} \def \pageoflines {\notes[24pt]{18}{\textwidth}} \def \answer {\textbf{ôúøåï:}} \def \S {\mathcal{S}} %\newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{theorem}{\R{îùôè}} \newtheorem{example}{\R{ãåâîä}} %\newtheorem{question}{\R{ùàìä}} \theorembodyfont{\fontfamily{david}\selectfont}\newtheorem{question}{\R{ \fontfamily{david}\selectfont \textbf{ùàìä}}} \theorembodyfont{\fontfamily{david}\selectfont}\newtheorem{solution}{\R{ \fontfamily{david}\selectfont \textbf{ôúøåï}}} %\newtheorem{remark}[theorem]{Remark} %\newcommand{{ ùàìä}}{\noindent{\bf \R{ .ùàìä}}} %------------------------------------------------------------------------ \begin{document} %\fontfamily{david}\selectfont \begin{center} {\textbf{ \Large{ îèìä îñ' 5 àìâáøä 1îç' \L{11102} \\ \quad \\ ìà ìäâùä }} \\} \end{center} % %\textbf{äòøä:} %áîèìä æå îåúø ìäùúîù áëì èòðä ùäåëéçå áîèìåú ÷åãîåú. \begin{enumerate} \item éäé $(V, \setF)$ îøçá å÷èåøé ëàùø $\dim V=n$ å $B=\{\v_1, \ldots, \v_n\}$ áñéñ ì $V$. äåëéçå àå äôøéëå àú äèòðåú äáàåú. \begin{enumerate} \item ìëì å÷èåø $\y\in V$ ä÷áåöä $\{\y+\v_1, \ldots, \y+\v_n\}$ áñéñ ì $V$. %\answer % %äèòðä àéðä ðëåðä. ð÷ç %$\y=-\v_1$ %åàæ ä÷áåöä %\[\{\y+\v_1, \ldots, \y+\v_n\}=\{-\v_1+\v_1, \ldots, -\v_1+\v_n\}=\{\0, \ldots, -\v_1+\v_n\}\] %îëéìä àú å÷èåø äàôñ ìëï äéà àéðä áú"ì )ëîåáï äéà âí ìà áñéñ(. \item ìëì ñ÷ìøéí $\alpha_1, \ldots, \alpha_n\neq 0$ ä÷áåöä $\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$ áñéñ ì $V$. %\answer % %ä÷áåöä %$\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$ %îú÷áìú îäáñéñ $B$ òì éãé ñãøä ùì ôòåìåú àìîðèøéåú. ìôé èòðä, ôòåìåú àìîðèøéåú ìà îùðåú úìåú ìéðàøéú àå ôøéùä ùì ÷áåöä. ëìï %$\{\alpha_1 \v_1, \ldots, \alpha_n \v_n\}$ % âí áñéñ ì $V$. \item áñòéó äæä áìáã $V=\setR^n$ îøçá å÷èåøé îòì äùãä $\setR$ \usualop\ å ${B=\{\v_1, \ldots, \v_n\}}$ áñéñ ì $\setR^n$. òáåø $A\in \setR^{n\times n}$ îèøéöä îñãø $n\times n$ ä÷áåöä $\{A\v_1, \ldots, A\v_n\}$ áñéñ ì $V$ àí åø÷ àí $A$ äôéëä. %\answer % %ðæëéø ëé %$A$ %äôéëä àí åø÷ àí %$\Nu(A)=\{\0\}$. % %\textbf{ëéååï 1:} %ððéç ëé $A$ äôéëä. %éäéå %$\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in \setR $ %ëê ù %\begin{align*} %\alpha_1 A\v_1+\cdots +\alpha_n A\v_n=\0. %\end{align*} %ðåáò ëé %\[A(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=\0.\] %îëéååï ù %$A$ %äôéëä ðåëì ìäëôéì áùðé äàâôéí áîèøéöä äåôëéú %$A^{-1}$ %åð÷áì %\[A^{-1}A(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=I(\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n)=\alpha_1 \v_1+\cdots +\alpha_n \v_n=\0\] %àáì $B$ áú"ì )ëé äåà áñéñ( ìëï %$\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$. %ðåáò ëé %$A\v_1,\ldots, A\v_n$ %áú"ì àáì %$\dim V=n$ %ìëï %$A\v_1,\ldots, A\v_n$ %îäååéí áñéñ ì %$V$. % %\textbf{ëéååï 2:} % %ððéç ù %$A\v_1,\ldots, A\v_n$ %îäååéí áñéñ ì %$\setR^n$. %òì îðú ìäøàåú ù $A$ äôéëä, ðøàä ù %$\Nu(A)=\{\0\}$. %ìùí ëê, éäé %$\x\in \Nu(A)$. %îëéååï %$B$ %áñéñ ì %$\setR^n$, %äéà ôåøùú àú %$\setR^n$. %ìëï ÷ééîéí %$\beta_1, \ldots, \beta_n\in \setR$ %ëê ù %$\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n \v_n=\x$. %ðëôéì á %$A$ %åð÷áì %\begin{align*} %&A(\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n \v_n)=A\x=\0\\ %\implies & \beta_1A\v_1+\cdots+\beta_n A\v_n=\0. %\end{align*} %îëéååï ù %$\{A\v_1,\ldots, A\v_n\}$ %áñéñ ì %$\setR^n$ %äéà áú"ì. ðåáò ëé %$\beta_1=\cdots=\beta_n=0$. %îú÷áì ù %$\x=\beta_1\v_1+\cdots+\beta_n\v_n=\0$. %ðåáò ëé %$\Nu(A)=\{\0\}$ %ìëï %$A$ %äôéëä. \item éäéå $\a_1=\bm a_{11}\\ 0\\0\\0 \em, \a_2=\bm a_{12}\\ a_{22}\\0\\0 \em, \a_3=\bm a_{13}\\ a_{23}\\a_{33}\\0 \em, \a_4=\bm a_{14}\\ a_{24}\\a_{34}\\a_{44} \em$ å÷èåøéí á $\setR^4$ ëàùø $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}\neq 0$. äåëéçå ùäåå÷èåøéí îäååéí áñéñ ì $\setR^4$. %\answer % %ðñãø àú äåå÷èåøéí äðúåðéí áîèøéöä: %\[A=(\a_1,\a_2,\a_3,\a_4)= %\bm a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ % 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ % 0&0&a_{33}&a_{34}\\ % 0&0&0&a_{44} \em. %\] %ëòú, %$\r(A)=4$ %ëé äî÷ãîéí %$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}$ %ùåðéí îàôñ ìëï ëì àçã îåáéì åäîèøéöä îãåøâú. ìôé èòðä, ðåáò ù %$A\in \setR^{4\times 4}$ % äôéëä. \end{enumerate} \item éäé $(\setR^3, \setR)$ îøçá å÷èåøé òí äôòåìåú äøâéìåú åéäé $V=\{f\in \setR[x]\mid \deg f\leq 2\}$ îøçá äôåìéðåîéí îòì $\setR$ îîòìä ìëì äéåúø $2$. ðâãéø ôåð÷öéä $T:\setR^3\to V$ òì éãé $T\bm a\\b\\c \em=(a+c)x^2+(a-b)x+(b+c)$ ìëì $\bm a\\b\\c\em\in \setR^3$. \begin{enumerate} \item äåëéçå ù $T$ äòú÷ä ìéðàøéú. %\answer % %éäéå %$\u_1=\bm a_1\\b_1\\c_1\em, \u_2=\bm a_2\\b_2\\c_2\em\in \setR^3$ %åéäé %$\alpha\in \setR$. %àæé îú÷ééîéí %\begin{align*}T(\u_1+\u_2)&=T\bm a_1+a_2\\b_1+b_2\\c_1+c_2\em\\ % &=(a_1+a_2+c_1+c_2)x^2+(a_1+a_2-b_1-b_2)x+(b_1+b_2+c_1+c_2)\\ % &=(a_1+ c_1 )x^2+(a_1 -b_1 )x+b_1 +c_1+(a_2+ c_2 )x^2+(a_2 -b_2 )x+b_2 +c_2\\ % &=T(\u_1)+T(\u_2) % \end{align*} % å %\begin{align*}T(\alpha \u_1)&=(\alpha a_1+ \alpha c_1 )x^2+(\alpha a_1 -\alpha b_1 )x+(\alpha b_1 +\alpha c_1 )\\ % &=\alpha \Big(a_1+ c_1 )x^2+(a_1 -b_1 )x+b_1 +c_1\Big)\\ % &=\alpha T(\u_1). %\end{align*} %ðåáò ëé %$T$ %äòú÷ä ìéðàøéú. \item äøàå ëé $x^2+1\in \ip(T)$ åâí $-x+1\in \ip(T)$. %\answer % %ð÷ç %$a=b=1, c=0$ %åð÷áì %$T\bm 1\\1\\0 \em=(1+0)x^2+(1-1)x+1+0=x^2+1$ %ìëï %$x^2+1\in \ip(T)$. % %ð÷ç %$a=c=0, b=1$ %åð÷áì %$T\bm 0\\0\\1 \em=(0+0)x^2+(0-1)x+1+0=-x+1$ %ìëï %$-x+1\in \ip(T)$. \item äåëéçå ëé $\dim (\ip(T))\geq 2$. %\answer % %áñòéó ä÷åãí øàéðå ëé %$x^2+1, -x+1\in \ip(T)$. %áøåø ùäí áú"ì ëé äîòìåú ùåðåú. %îöã ùðé, %$\sp\{x^2+1, -x+1\}\subseteq \ip(T)$. % ðåáò ëé %\[\dim (\ip(T))\geq \dim (\sp\{ x^2+1, -x+1 \})=2.\] \item äøàå ëé $\bm 1\\1\\-1 \em\in \ker(T)$. %\answer % %ðçùá %\[T\bm 1\\1\\-1 \em=(1-1)x^2+(1-1)x+1-1=0\] %ìëï %$\bm 1\\1\\-1\em\in \ker T$. \item äåëéçå ëé $\dim (\ker(T))\geq 1$. %\answer % %ðåáò îäñòéó ä÷åãí ëé %$\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em \right\}\subseteq \ker T$ %ìëï %\[\dim(\ker T)\geq \dim \left(\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em \right\}\right)=1.\] \item çùáå àú $\dim (\ker (T))$ åàú $\dim (\ip(T))$. %\answer % %ìôé îùôè îú÷ééí %$\dim (\ker (T))+\dim (\ip(T))=\dim(\setR^3)=3$. %ìôé äñòéôéí ÷åãîéí %$\dim (\ker (T))\geq 1$ %å %$\dim (\ip(T))\geq 2$ %ìëï áäëøç %$\dim (\ker (T))= 1$ %å %$\dim (\ip(T))= 2$. %\item %éäé %$B=\{x^2, x, 1\}$ %äáñéñ äñèðãøèé ùì %$V$. %úäé %$A\in \setR^{3\times 3}$ %îèøéöä äî÷ééîú %$[T(\u)]_B=A\u$ %ìëì %$\u\in \setR^3$. %\begin{enumerate} % \item % îöàå àú % $A$ % áîôåøù. % %%\answer %% %%ðëúåá %%$\u=\bm a\\b\\c \em$ %%åðçùá %%\[[T\u]_B=[(a+c)x^2+(a-b)x+(b+c)]_B=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em.\] %%ðãøù ìîöåà îèøéöä %%$A$ %%ëê ù %%$A\u=A\bm a \\ b \\ c \em=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em$. %%ðéúï ì÷çú %%\[A=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\] %%ëé àæ %%\[A\bm a \\ b \\ c \em=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\bm a \\ b \\ c \em=\bm a+c\\ a-b\\ b+c \em.\] % %\item %äøàå ëé %$\Nu(A)=\sp\left\{ \bm 1\\1\\-1 \em\right\}$. % %%\answer %% %% %%ëòú, %%$\Nu(A)$ %%äåà àåñó äôúøåðåú ìîî"ì %%$A\x=\0$. %%ðôúåø: %%\begin{align*} %%(A|\0)=\bse{ccc} %%1&0&1&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&1&1&0 \ese & %%\widesim{R_2\to R_2-R_1} %%\bse{ccc} %%1&0&1&0\\ 0&-1&-1&0\\ 0&1&1&0 \ese\\ %%&\widesim{R_3\to R_3+R_2} %%\bse{ccc} %%1&0&1&0\\ 0&-1&-1&0\\ 0&0&0&0 \ese %%\widesim{R_2\to -R_2} %%\bse{ccc} %%1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0 \ese. %%\end{align*} %% %%ðëúåá %%$c=t$ %%åàæ ð÷áì %%$a=b=-t$ %%ìëï éù ôúøåï ëììé %%$\bm a\\ b\\ c\em=\left\{ t\bm -1\\-1\\1 \em\mid t\in \setR \right\}$ %%ìëï %%\[\Nu(A)=\sp \left\{\bm -1\\-1\\1 \em\right\}=\sp \left\{\bm 1\\1\\-1 \em\right\}.\] % %\item %îöàå áñéñ ì %$\C(A)$. % %%\answer %% %%ìôé ääâãøä ùì îøçá òîåãåú %%$\C(A)=\sp\left\{ %%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em, \bm 1\\0\\1 \em %%\right\}.$ %%ëáø øàéðå ëé %%$\bm 1\\ 1\\ -1\em\in \Nu(A)$ %%ìëï %%\[\bm 0\\0\\0 \em=\bm 1&0&1\\ 1&-1&0\\ 0&1&1 \em\bm 1\\ 1\\ -1\em=1\bm 1\\1\\0\em+1\bm 0\\ -1\\ 1 \em+(-1)\bm 1\\0\\1 \em.\] %%ìëï ðåëì ìëúåá àú äòîåãä äàçøåðä ëöéøåó ìéðàøé ùì äòîåãåú äàçøåú: %%\[\bm 1\\0\\1 \em=\bm 1\\1\\0\em+\bm 0\\ -1\\ 1 \em.\] %%ðåáò ëé %%$\C(A)=\sp\left\{ %%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em, \bm 1\\0\\1 \em %%\right\}=\sp\left\{ %%\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em %%\right\}.$ %%äåå÷èåøéí %%$\bm 1\\1\\0\em, \bm 0\\ -1\\ 1 \em$ %%äí áú"ì ëé äí àéðí î÷áéìéí ìëï äí îäååéí áñéñ ì %%$\C(A)$. %\end{enumerate} \end{enumerate} \item éäé $\setF$ ùãä. \begin{enumerate} \item äåëéçå ùàí $A, B\in \setF^{n\times n}$ îèøéöåú ñéîèøéåú àæé $AB$ ñéîèøéú àí åø÷ àí $AB=BA$. %\answer % %ðúåï ù %$A, B$ %ñéîèøéåú ìëï %$A^T=A, B^T=B$. %ëòú, %$(AB)^T=B^TA^T=BA$. %ðéúï ìäñé÷ ëé %$AB$ %ñéîèøéú àí åø÷ àí %$(AB)^T=AB$ %àí åø÷ àí %$BA=AB$. \item äåëéçå ùàí $A, B\in \setR^{3\times 3}$ îèøéöåú ñéîèøéåú ëê ù $AB=\bm 2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$ àæé âí $BA=\bm 2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$. %\answer % %äîèøéöä %$AB=\bm 2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$ %ñéîèøéú ëé äéà àìëñåðéú. ìôé äñòéó ä÷åãí ðåáò ëé %$BA=AB=\bm 2&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&-1 \em$. \item úðå ãåâîä ìîèøéöåú $A, B\in \setR^{2\times 2}$ )ìà áäëøç ñéîèøéåú( ëê ù $AB$ ñéîèøéú å ${AB\neq BA}$. %\answer % %ð÷ç %$A=\bm 1&1\\0&1 \em, B=\bm 1&0\\ 1&1 \em$. %àæ %$AB=\bm 1&1\\0&1 \em \bm 1&0\\ 1&1 \em=\bm 2&1\\1&1 \em$ %ñéîèøéú å %$BA=\bm 1&0\\ 1&1 \em \bm 1&1\\0&1 \em = \bm 1&1\\1&2 \em \neq AB$. \end{enumerate} \item \label{inverse-of-products} éäé $\setF$ ùãä åúäééðä $A, B\in \setF^{n\times n}$ îèøéöåú äôéëåú. \begin{enumerate} \item äåëéçå ù $AB$ äôéëä. %\answer % %ìôé îùôè %$\det (AB)=\det A\det B$. %îëéååï ù %$A, B$ %äôéëåú îú÷ééí %$\det A, \det B\neq 0$. %ðåáò ëé %$\det (AB)\neq 0$ %ìëï %$AB$ %äôéëä. \item äåëéçå ëé $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. %\answer % %òì îðú ìäøàåú ëé %$B^{-1}A^{-1}$ %ääåôëéú ùì $AB$ àðå ðçùá: %\[ (AB)(B^{-1}A^{-1})= A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I. \] %ìôé îùôè, îú÷ééí âí %$(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$ %ìëï %$B^{-1}A^{-1}$ %àëï ääåôëéú ùì %$AB$. \item àí $C\in \setF^{n\times n}$ âí äôéëä, îöàå ðåñçä òáåø $(ABC)^{-1}$ ùáä îåôéòéí äîèøéöåú $A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}$. %\answer % %ìôé äñòéó ä÷åãí îú÷ééí %$(ABC)^{-1}=((AB)C)^{-1}=C^{-1}(AB)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$. % \item äåëéçå ù $A^2$ äôéëä. %\answer % %ðåáò éùéøåú îñòéó à' ëàùø %$B=A$ %ëé àæ %$AB=A^2$. \item äåëéçå ù $(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$. %\answer % % % ð÷ç % $B=A$ % åàæ ìôé ñòéó ùì äùàìä äðåëçéú á' ð÷áì % \[(A^2)^{-1}=(AA)^{-1}=(A^{-1})(A^{-1})=(A^{-1})^2.\] \item àí \[A=\bm -11&3&-4\\ -18&5&-7\\ 8&-2&3 \em, B=\bm 1&-1&1\\1&2&5\\ -2&4&1 \em\] çùáå àú $AB$ åàú $B^{-1}A^{-1}$. îåîìõ ìäéòæø áñòéó á' áî÷åí ìçùá àú $A^{-1}$ åàú $B^{-1}$ áðôøã. %\answer % %\[AB=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em.\] %ìôé ñòéó á' îú÷ééí %$B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em^{-1}$. %ðçùá àú ääåôëéú: %\begin{align*} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 0&1&0&1&0&0\\ % 1&0&0&0&1&0\\ % 0&0&1&0&0&1 % \end{array} % \right) % &{\widesim{R_1\leftrightarrow R_2}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} %1&0&0&0&1&0\\ %0&1&0&1&0&0\\ %0&0&1&0&0&1 % \end{array} % \right). %\end{align*} % ðåáò ëé % $B^{-1}A^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em^{-1}=\bm 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \em$. \end{enumerate} \item \label{eigen-of-inverse} éäé $\setF$ ùãä åúäé $A\in \setF^{n\times n}$ îèøéöä äôéëä. \begin{enumerate} \item äåëéçå ùëì òøê òöîé ùì $A$ ùåðä îàôñ. %\answer % %ðúåï ù %$A$ %äôéëä. ìëï, ìôé èòðä, %$\Nu(A)=\{\0\}$. %ðåáò ù %$A\x\neq \0$ %ìëì %$\x\neq \0$. %ìëï ìà éúëï ù %$A\x=0\x$ %òáåø å÷èåø %$\x\neq \0$. %ðåáò ù %$0$ %àéðå òøê òöîé ùì %$A$. \item äåëéçå ùàí $\x$ å÷èåø òöîé ùì $A$ òí òøê òöîé $\lambda$ àæé $\x$ å÷èåø òöîé ùì $A^{-1}$ òí òøê òöîé $\frac{1}{\lambda}$. ëàï $A^{-1}$ îñîï àú äîèøéöä ääåôëéú ùì $A$. %\answer % %ìôé äðúåï îú÷ééí %$A\x=\lambda \x$. %ðëôéì àú ùðé äàâôéí á %$A^{-1}$ %åð÷áì %\[A^{-1}A\x=A^{-1}(\lambda \x)=\lambda A^{-1}\x.\] %ëòú, ìôé ääâãøä ùì îèøéöä äåôëéú îú÷ééí %$A^{-1}A=I$ %ëàùø %$I$ %îèøéöú äéçéãä îñãø %$n\times n$. %ðåáò ù %$A^{-1}A\x=I\x=\x$ %ìëï %$\x=\lambda A^{-1}\x$. %ðéúï ìäñé÷ ëé %$A^{-1}\x=\frac{1}{\lambda}\x$ %ìëï %$\x$ %å÷èåø òöîé ùì %$A^{-1}$ %òí òøê òöîé %$\frac{1}{\lambda}$. \item äåëéçå ùàí $\x$ å÷èåø òöîé ùì $A$ òí òøê òöîé $\lambda$ àæé $\x$ å÷èåø òöîé ùì $A^2$ òí òøê òöîé $\lambda^2$. %\answer % %ìôé äðúåï %$A\x=\lambda\x$. %ëòú, %$A^2\x=AA\x=A\lambda \x=\lambda A\x=\lambda (\lambda \x)=\lambda^2\x$ %ìëï %$\x$ %å÷èåø òöîé ùì %$A^2$ %òí òøê òöîé %$\lambda^2$. \end{enumerate} \item éäé $\setF$ ùãä åúäé $A\in \setF^{n\times n}$ îèøéöä äôéëä. \begin{enumerate} \item äåëéçå ëé $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$. %\answer % %ëãé ìáãå÷ äàí %$(A^{-1})^T$ %ääåôëéú ùì %$A^T$, %ðçùá àú %$A^T(A^{-1})^T$. %ëòú, %\begin{align*} %A^T(A^{-1})^T&=(A^{-1}A)^T\\ %&=I^T=I. %\end{align*} %ìôé îùôè ðåáò ùâí %$(A^{-1})^TA^T=I$. %ìëï àëï %$(A^{-1})^T$ %ääåôëéú ùì %$A^T$. \item äåëéçå ùàí $A$ ñéîèøéú àæé âí $A^{-1}$ ñéîèøéú. %\answer % %àí $A$ ñéîèøéú àæ %$A^T=A$. %ìôé ñòéó ä÷åãí ð÷áì %\[(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}\] %ìëï %$A^{-1}$ %ñéîèøéú. \item àí \[A=\bm 3&0&5\\0&2&1\\5&1&9 \em\] \begin{enumerate} \item çùáå àú $A^{-1}$. %\answer % %òì îðú ìçùá àú ääåëôéú ùì $A$ ðãøâ: % %\begin{align*} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 3&0&5&1&0&0\\ % 0&2&1&0&1&0\\ % 5&1&9&0&0&1 % \end{array} % \right) % &{\widesim{R_3\to 3R_3-5R_1}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 3&0&5&1&0&0\\ % 0&2&1&0&1&0\\ % 0&3&2&-5&0&3 % \end{array} % \right)\\[0.5em] % &{\widesim{R_3\to 2R_3-3R_2}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 3&0&5&1&0&0\\ % 0&2&1&0&1&0\\ % 0&0&1&-10&-3&6 % \end{array} % \right)\\[0.5em] % &{\widesim{R_1\to R_1-5R_2}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 3&0&0&51&15&-30\\ % 0&2&1&0&1&0\\ % 0&0&1&-10&-3&6 % \end{array} % \right)\\[0.5em] % &{\widesim{R_2\to R_2-R_3}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 3&0&0&51&15&-30\\ % 0&2&0&10&4&-6\\ % 0&0&1&-10&-3&6 % \end{array} % \right)\\[0.5em] % &{\widesim{R_1\to \frac{1}{3}R_1}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 1&0&0&17&5&-10\\ % 0&2&0&10&4&-6\\ % 0&0&1&-10&-3&6 % \end{array} % \right)\\[0.5em] % &{\widesim{R_2\to \frac{1}{2}R_2}} % \left( % \begin{array}{ccc|ccc} % 1&0&0&17&5&-10\\ % 0&1&0&5&2&-3\\ % 0&0&1&-10&-3&6 % \end{array} % \right)\\ %\end{align*} %ìëï %$A^{-1}=\bm %17&5&-10\\ %5&2&-3\\ %-10&-3&6 %\em$. \item çùáå àú $(A^2)^{-1}$. %\answer % %ìôé ùàìä %\ref{inverse-of-products} % ñòéó ä' îú÷ééí %$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$. %ìôé äñòéó ä÷åãí ð÷áì %\begin{align*} %(A^2)^{-1}&=(A^{-1})^2\\ %&=A^{-1}A^{-1}\\ %&=\bm %17&5&-10\\ %5&2&-3\\ %-10&-3&6 %\em\bm %17&5&-10\\ %5&2&-3\\ %-10&-3&6 %\em\\ %&=\bm %414&125&-245\\ %125&38&-74\\ %-245&-74&145 %\em %\end{align*} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{úæëåøú:} òáåø îèøéöä äôéëä $\bm p&q\\ r&s \em$ îñãø $2\times 2$ äîèøéöä ääåôëéú ðúåðä òì éãé \[\bm p&q\\ r&s \em^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\bm s&-q\\ -r&p \em.\] \item éäéå $a, b\in \setR$ ëê ùîú÷ééí $a^2-b^2=1$. ðâãéø îèøéöåú \[C=\bm a&b\\ b&a \em, D=\bm a&b\\ a&b \em \in \setR^{2\times 2}.\] \begin{enumerate} \item äøàå ù $D$ àéðä äôéëä. %\answer % %\textbf{ùéèä 1:} %$\det D=ab-ba=0$ %ìëï $D$ àéðä äôéëä. % %\textbf{ùéèä 2:} %äòîåãåú ùì $D$ î÷áéìåú ìëï äï úìåéåú ìéðàøéú. ðåáò ëé %$D$ %àéðä äôéëä. % % %\textbf{ùéèä 3:} %äùåøåú ùì $D$ æäåú ìëï %$\r (D)<2$ %)áòöí %$\r (D)=1$ %ëé %$a^2-b^2=1$ %ìëï %$(a, b)\neq (0,0)$.( %ðåáò ëé %$D$ %àéðä äôéëä. % %\textbf{ùéèä 4:} %$D\bm b\\-a \em=\bm 0\\0 \em$ %ìëï %$\bm b\\ -a\em\in \Nu(D)$. %àáì %$\bm b\\-a \em\neq \bm 0\\0 \em$ %ëé %$a^2-b^2=1$. %ðåáò ëé %$\Nu(D)\neq \{\0\}$ %ìëï %$D$ %àéðä äôéëä. \item äøàå ëé $C$ äôéëä åîöàå àú äîèøéöä ääåôëéú $C^{-1}$. %\answer % %ðçùá: %$\det C=a^2-b^2=1\neq 0$ %ìëï %$C$ %äôéëä. ìôé èòðä ääåôëéú ðúåðä òì éãé %$C^{-1}=\frac{1}{\det C}\bm a&-b\\ -b&a \em=\bm a&-b\\ -b&a \em$. \item îöàå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $C$ )éù ìëúåá àú äò"ò áàîöòåú äôøîèøéí $a, b$.( òáåø ëì òøê òöîé îöàå å÷èåø òöîé îúàéí. %\textbf{ùéèä 1:} %ìîèøéöä %$C$ %éù äøáä ñéîèøéä. áôøè, ñëåí äî÷ãîéí áëì ùåøä ùååä. ðåáò ù %$\bm 1\\ 1\em$ %å÷èåø òöîé ùì %$C$ %àí òøê òöîé %$a+b$: % %\[C\bm 1\\ 1\em=\bm a&b\\ b&a \em\bm 1\\1 \em=\bm a+b\\ a+b \em=(a+b)\bm 1\\1 \em.\] %áàåôï ãåîä, äôøù äî÷ãîéí áëì ùåøä ãåîä ìëï ðáãå÷ àú äåå÷èåø %$\bm 1\\ -1\em$: % %\[C\bm 1\\ -1\em=\bm a&b\\ b&a \em\bm 1\\-1 \em=\bm a-b\\ b-a \em=(a-b)\bm 1\\-1 \em.\] %ìîèøéöä îñãø %$2\times 2$ %éù ìëì äéåúø ùðé ùåøùéí ìôåìéðåí äàåôééðé ìëï éù ìëì äéåúø ùðé òøëéí òöîééí. ðéúï ìäñé÷ ùîöàðå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $C$. %\textbf{ùéèä 2:} %ðçùá àú äôåìéðåí äàåôééðé ùì $C$: %\begin{align*} %p_C(\lambda)&=\bd a-\lambda&b\\ b&a-\lambda \ed\\ %&=(a-\lambda)^2-b^2\\ %&=\lambda^2-2a\lambda+a^2-b^2\\ %&=(\lambda-(a+b))(\lambda-(a-b)) %\end{align*} %ìëï éù òøëéí òöîééí %$a+b,\ \ a-b$. %òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé %$a+b$ %ðîöà å÷èåø ìà àôñ á %$\Nu(A-(a+b)I)$: %\begin{align*} %(A-(a+b)I|\0)&=\bse{cc} -b&b&0\\ b&-b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2+R_1}}\bse{cc} -b&b&0\\ 0&0&0 \ese %\end{align*} %àæ ðéúï ì÷çú å"ò %$\v_1=\bm1\\1 \em$.\\ % %òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé %$a-b$ %ðîöà å÷èåø ìà àôñ á %$\Nu(A-(a-b)I)$: %\begin{align*} % (A-(a-b)I|\0)&=\bse{cc} b&b&0\\ b&b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2-R_1}}\bse{cc} b&b&0\\ 0&0&0 \ese %\end{align*} %àæ ðéúï ì÷çú å"ò %$\v_2=\bm1\\-1 \em$. \item îöàå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $D$ )éù ìëúåá àú äò"ò áàîöòåú äôøîèøéí $a, b$.( òáåø ëì òøê òöîé îöàå å÷èåø òöîé îúàéí. %\textbf{ùéèä 1:} %ëîå áñòéó ä÷åãí, ìîèøéöä %$D$ %éù äøáä ñéîèøéä. áôøè, ñëåí äî÷ãîéí áëì ùåøä ùååä. ðåáò ù %$\bm 1\\ 1\em$ %å÷èåø òöîé ùì %$D$ %àí òøê òöîé %$a+b$: % %\[D\bm 1\\ 1\em=\bm a&b\\ a&b \em\bm 1\\1 \em=\bm a+b\\ a+b \em=(a+b)\bm 1\\1 \em.\] %ëòú, ðéúï ìàôñ àú ùúé äùåøåú àí ðëôéì áåå÷èåø %$\bm b\\ -a\em$ %ìëï äåà å÷èåø òöîé òí òøê òöîé %$0$: % %\[D\bm b\\ -a\em=\bm a&b\\ a&b \em\bm b\\-a \em=\bm ab-ba\\ ab-ba \em=\bm 0\\0 \em=0\bm b\\-a \em.\] %ìîèøéöä îñãø %$2\times 2$ %éù ìëì äéåúø ùðé ùåøùéí ìôåìéðåí äàåôééðé ìëï éù ìëì äéåúø ùðé òøëéí òöîééí. ðéúï ìäñé÷ ùîöàðå àú ëì äòøëéí äòöîééí ùì $D$. %\textbf{ùéèä 2:} %ðçùá àú äôåìéðåí äàåôééðé ùì $D$: %\begin{align*} % p_D(\lambda)&=\bd a-\lambda&b\\ a&b-\lambda \ed\\ % &=(a-\lambda)(b-\lambda)-ab\\ % &=\lambda^2-(a+b)\lambda\\ % &=\lambda(\lambda-(a+b)) %\end{align*} %ìëï éù òøëéí òöîééí %$a+b,\ \ 0$. %òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé %$a+b$ %ðîöà å÷èåø ìà àôñ á %$\Nu(A-(a+b)I)$: %\begin{align*} % (A-(a+b)I|\0)&=\bse{cc} -b&b&0\\ a&-a&0 \ese{\widesim{}}\bse{cc} 1&-1&0\\ 0&0&0 \ese %\end{align*} %îëéååï ù %$a^2-b^2=1$ %ìëï %$a\neq 0$ %àå %$b\neq 0$ %åäùåøåú î÷áéìåú. %àæ ðéúï ì÷çú å"ò %$\v_1=\bm1\\1 \em$.\\ % %òì îðú ìîöåà å÷èåø òöîé òáåø òøê äòöîé %$0$ %ðîöà å÷èåø ìà àôñ á %${\Nu(A-(0)I)}$: %\begin{align*} % (A-(0)I|\0)=(A|\0)&=\bse{cc} a&b&0\\ a&b&0 \ese{\widesim{R_2\to R_2-R_1}}\bse{cc} a&b&0\\ 0&0&0 \ese %\end{align*} %àæ ðéúï ì÷çú å"ò %$\v_2=\bm b\\-a \em$ %åäåà àéðå å÷èåø äàôñ ëé %$a\neq 0$ %àå %$b\neq 0$ %ëôé ùëáø öééðå. \item äøàå ëé éù ì $C$ å $C^{-1}$ àåúí òøëéí òöîééí. % \answer % % ìôé ñòéó á' ùì äùàìä äðåëçéú äîèøéöä % $C$ % äôéëä. % ìôé ùàìä % \ref{eigen-of-inverse} % ñòéó á' ìëì òøê òöîé % $\lambda$ % ùì $C$ éù ì % $C^{-1}$ % éùðí òøëéí òöîééí % $\frac{1}{\lambda}$. % ìôé ñòéó â' ùì äùàìä äðåëçéú äòøëéí äòöîééí ùì $C$ äí % $a+b,\ a-b$. % ðåáò ùäòøëéí äòöîééí ùì % $C^{-1}$ % äí % $\frac{1}{a+b}, \ \frac{1}{a-b}$. % ðúåï ëé % $1=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ % ìëï % $\frac{1}{a+b}=a-b$ % å % $\frac{1}{a-b}=a+b$. % ìëï ì % $C^{-1}$ %éù àåúí òøëéí òöîééí % $a+b, \ a-b$ % ëîå % $C$. % \item úðå ãåâîä ìîèøéöä äôéëä $Y$ îñãø $2\times 2$ ëê ùäòøëéí òöîééí ùì $Y$ ùåðéí îäòøëéí äòöîééí ùì $Y^{-1}$. % \answer % %ð÷ç ìîùì %$Y=\bm 2&0\\ 0&3 \em$ %åàæ %$Y^{-1}=\bm \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{3} \em$. %äòøëéí äòöîééí ùì %$Y$ %äí %$2, 3$ %)ðéúï ì÷çú ìîùì å÷èåøéí òöîééí %$\bm 1\\ 0\em, \bm 0\\ 1\em$.( %áàåôï ãåîä, ÷ì ìøàåú ùäòøëéí äòöîééí ùì %$Y^{-1}$ %äí %$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$. %ìëï ì %$Y, Y^{-1}$ %éù òøëéí òöîééí ùåðéí. \end{enumerate} \item ðâãéø ÷áåöú îèøéöåú òì éãé \[\S=\left\{ \bm a&-b\\ b&a \em\mid a,b\in \setR, a^2+b^2=1 \right\}.\] \begin{enumerate} \item äøàå ùëì îèøéöä á $\S$ äôéëä. % \answer % %àí %$A=\bm a&-b\\ b&a\em\in \S$ %àæ %$\det A=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=1\neq 0$ %ìëï %$A$ %äôéëä. \item äåëéçå ùìëì $A\in \S$ îú÷ééí $A^{-1}\in \S$. %\answer % %àí %$A=\bm a&-b\\ b&a\em\in \S$ % àæ ìôé èòðä îú÷ééí %\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\bm a&b\\ -b&a \em=\frac{1}{a^2+b^2}\bm a&b\\ -b&a \em=\frac{1}{1}\bm a&b\\ -b&a \em=\bm a&-(-b)\\ b&a \em\in \S\] %)äúðàé %$a^2+b^2=1$ %òãééï îú÷ééí.( \item äåëéçå ùìëì $A, B\in \S$ îú÷ééí $AB\in \S$. %\answer % %úééðä % $A= % \bm a&-b\\ b&a \em, B= % \bm c&-d\\ d&c \em. % $ % % % ëòú, % \begin{align*} % AB&=\bm a&-b\\ b&a \em % \bm c&-d\\ d&c \em=\bm ac-bd&-ad-bc \\bc+ad&ac-bd \em % \end{align*} \item îöàå ëì äôúøåðåú ìîùååàä $A^2=\bm 1&0\\ 0&1 \em$ ëàùø $A\in \S$. %\answer % %ð÷ç %$a=-1, b=0$ %åð÷áì % $A=\bm a&-b\\b&a \em=\bm -1&0\\0&-1 \em$. % îëàï ð÷áì % \[A^2=\bm -1&0\\0&-1 \em^2=\bm -1&0\\0&-1 \em\bm -1&0\\0&-1 \em=\bm 1&0\\0&1 \em\] % \end{enumerate} %\item % %\begin{enumerate} % \item % \item %\end{enumerate} %\item % %\begin{enumerate} % \item % \item %\end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{äåøàåú:} \begin{itemize} \item îèìä æå àéðä ìäâùä. \item ôúøåðåú éôåøñîå ìëì äîàåçø á 11 áéåìé. \end{itemize} \end{document}