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[jmorlier]

Un projet a été soumis à savannah.nongnu.org
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morlier <address@hidden> a décrit le projet comme suit :
Licence: fdl
Autre Licence: 
Paquet: Redac_JO
Nom système: essai
Type: non-GNU

Description:
Gestion de mes fichiers latex.



exemple de code fournit:





\begin{sloppypar}

\chapter{État de l'art}



Le but de ce chapitre est de montrer que la caractérisation d'une

structure peut s'effectuer seulement à une échelle globale

(transformée de Fourier) mais aussi bien à une échelle duale,

globale et locale (transformée en ondelettes) en caractérisant la

structure et ses défauts. On fera en premier lieu le point sur

l'analyse modale des structures et en particulier sur l'extraction

des paramètres modaux.



\section{Analyse modale expérimentale}



Les objectifs de cette analyse sont d'une part d'identifier un

modèle modal (global), de la structure que l'on cherche à

connaître (i.e. estimer les différents paramètres modaux), mais

aussi d'introduire les notions théoriques qui permettront de mieux

comprendre la méthode d'évaluation non destructive que nous avons

développé cette année. Cette dernière sera exposée par la suite,

ainsi que son application à la détection de défauts sur des

structures simples (poutre).



\subsection{Définition}



L'analyse modale permet d'établir un modèle de comportement

vibratoire d'une structure en basses fréquences (jusqu'à quelques

dizaines de Hz). En identifiant par la mesure les trois paramètres

modaux (les fréquences, vecteurs propres et amortissements modaux)

d'un système, on peut construire un modèle analytique qui pourra

être employé en simulation pour connaître le comportement

dynamique de ce système dans d'autre cas pratiques. En hautes et

moyennes fréquences, la densité de modes est souvent trop

importante pour que cette méthode soit applicable. Ces

considérations dépendent de la complexité du problème étudié :

pour un poutre ou une plaque, le domaine d'utilisation de

l'analyse modale est beaucoup plus large que pour une voiture ou

un avion, par exemple.

\newline

\newline L'analyse modale est basée sur

quelques hypothèses [1] :

\newline

Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées.

\newline

Le système, s'il est continu, peut se représenter par un système

discret  où les paramètres sont exprimés pour chaque noeud du

maillage (nombre de degrés de liberté (ddl)  total = nombre de

noeuds * nombre de ddl par noeud).

\newline L'amortissement est

supposé proportionnel à la rigidité.\newline Pour des modes

clairement identifiés, la méthode de comparaison à une somme de

systèmes à 1 ddl est facile à appliquer.\newline

\InsFig{Superposition1}{principe de superposition}{}{0.8}



\newpage



\subsection{Extraction des paramètres modaux}



L'analyse modale expérimentale est la technique la plus fiable

pour extraire les trois paramètres modaux de l'estimation de la

Fonction de Réponse en Fréquences $H(\omega)$(ou FRF). A partir de

la représentation de Bode (Tracé du module et de l'argument en

fonction de la fréquence), on décide du nombre de modes à

attribuer à la structure, et ce dans une bande de fréquences. La

plupart du temps, le nombre de modes correspond au nombre de pics

distincts (résonance d'amplitudes) du tracé du module de

$H(\omega)$. Il correspond aussi au nombre de passages à $\pm90$°

de la phase de $H(\omega)$ ou aux maxima de la partie imaginaire.







\subsubsection{Exemple d'identification modale}







La poutre de la figure ci -dessous est encastrée à une extrémité,

libre à l'autre et excitée au point 1 par un pot vibrant de

pulsation $\omega$ réglable.



\InsFig{Protocole}{Protocole d'identification modale}{}{0.35}



Les mesures des déplacements aux points 1, 2 et 3 sont transmises

à un analyseur qui affiche le graphique de la figure 2.3.



\InsFig{Spectre}{Module et phase des 3 FRF}{}{0.85}





On repère sur la partie du haut, les variations du module de la

FRF $|H|$, en échelle logarithmique (en dB). Les variations de

l'argument (phase) de H sont en bas, pour une certaine gamme de

pulsations de l'excitation d'amplitude F.\newline



On pose: $[X]=[H(\omega)][F]$, où $[H(\omega)]$ est la matrice de

réceptance. On a relevé pour le premier accéléromètre:\newline



$|H_{11}(\omega_1)|=0.423$, à la pulsation du premier mode

$\omega_1=10$ rad/s. Et les deux pulsations à -3 dB autour du

fondamental:

$|H_{11}(\omega_{a1})|=|H_{11}(\omega_{b1})|=\frac{|H_{11}(\omega_{1})|}{\sqrt(2)}$,

$\omega_{a1}=9.85 $ rad/s et $\omega_{b1}=10.05 $ rad/s.\newline



De même pour le deuxième et troisième modes : \newline

$|H_{11}(\omega_2)|=0.655$ à $\omega_2=20 $ rad/s. Et les deux

pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline

$|H_{11}(\omega_{a2})|=|H_{11}(\omega_{b2})|=\frac{|H_{11}(\omega_{2})|}{\sqrt(2)}$,

$\omega_{a2}=19.8 $ rad/s et $\omega_{b2}=20.2 $ rad/s.\newline

\newline

$|H_{11}(\omega_3)|=0.174$ à $\omega_3=32 $ rad/s. Et les deux

pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline

$|H_{11}(\omega_{a3})|=|H_{11}(\omega_{b3})|=\frac{|H_{11}(\omega_{3})|}{\sqrt(2)}$,

$\omega_{a3}=30.8 $ rad/s et $\omega_{b3}=34 $ rad/s.\newline



Pour le deuxième accéléromètre, on relève:\newline

$|H_{21}(\omega_1)|=0.917$, $|H_{21}(\omega_2)|=0.687$,

$|H_{21}(\omega_3)|=0.124$\newline



Pour le troisième accéléromètre, on relève:\newline

$|H_{31}(\omega_1)|=2.317$, $|H_{31}(\omega_2)|=2.126$,

$|H_{31}(\omega_3)|=0.707$\newline





La structure admet 3 degrés de liberté (ddl) entre 0 et 40 rad/s,

identifiés par les 3 pics des modules des FRF, de pulsation

$\omega_1=10$ rad/s, $\omega_2=20$ rad/s, $\omega_3=32$ rad/s. On

vérifie qu'à ces pulsations correspond une phase de FRF de 90° ou

de -90° (modulo 180°).\newline Le facteur d'amortissement est

obtenu par la méthode de la demi puissance (-3 dB) autour de

$\omega=\omega_r$ ($r_{ieme}$ mode).\newline

 Soit,\newline

$\delta_1=\frac{\omega_{b1}-\omega_{a1}}{2\omega_1}=\frac{10.05-9.85}{20}=0.01$\newline

\newline

$\delta_2=\frac{\omega_{b2}-\omega_{a2}}{2\omega_2}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline

\newline

$\delta_3=\frac{\omega_{b3}-\omega_{3}}{2\omega_3}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline

\newline

\textit{Remarque}: On peut trouver les mêmes résultats à partir de

$|H_{21}|$ ou $|H_{31}|$, ce qui permet d'obtenir une valeur plus

précise en moyennant les 3 résultats.

\newline

Si l'amortissement est proportionnel, les composantes $P_{jr}$ du

vecteur de forme $\psi_r$ (avec j numéro de capteur et r mode de

vibration)sont réelles et les signes de leur composantes sont

donnés par le signe de la phase correspondante. Si l'amortissement

est non proportionnel, $P_{jr}$ est complexe et nous ne

déterminerons ainsi que son module.\newline

\newline \textit{Rappel}: En effet, en connaissant le nombre de pôles qui

caractérisent la structure, on peut trouver les paramètres modaux

en identifiant le modèle à fraction partielle (MFP):

$$H(\omega)=\sum_{k=1}^{N}

\frac{R_k}{\omega-p_k}+\frac{R_k^*}{\omega-p_k^*}$$\newline Ainsi

on décompose la fonction de transfert (identifiée en minimisant

l'erreur entre la FRF et le quotient de de polynôme en $\omega$)

en éléments simples. Cette décomposition laisse apparaître dans

les pôles p et $p^*$ de la MFP, les 2 premiers paramètres modaux:

$p=-\delta_k-j\omega_k$. En effet, sa partie réelle représente

l'amortissement et sa partie imaginaire nous renseigne sur la

pulsation naturelle amortie du système. Le résidus $R_k$ est un

nombre imaginaire qui rend compte de la force du mode. C'est un

concept mathématique qui n'a pas d'interprétation physique

directe, c'est un indicateur de la déformée modale.\newline

$H(\omega \to \omega_k) \approx \frac{R_k}{\delta_k}$ \newline On

montre que le résidu pour un mode particulier k est proportionnel

au produit du déplacement modal à 1 ddl i par le déplacement modal

à l'excitation j:\newline

$R_{ij}^k=\frac{P_{ik}P_{jk}}{2j\omega_k}$\newline On peut

remarquer que la partie imaginaire de $H(\omega)$ contient deux

informations essentielles, l'amplitude et la direction.\newline

Ainsi, on obtient le vecteur de forme ${\psi_1}$ du premier mode à

partir des relations suivantes :

\newline

$|P_{j1}P_{k1}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{jk}(\omega_1)|$\newline

$P_{11}^2=2\delta_1\omega_1^2|H_{11}(\omega_1)|=0.846$, phase

négative, $P_{11}=-0.920$\newline

$|P_{21}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{21}(\omega_1)|=1.834$,

phase négative,  $P_{21}=-1.993$\newline

$|P_{31}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{31}(\omega_1)|=4.633$,

phase négative,  $P_{21}=-5. 036$\newline Soit

   $$\psi_1=\left (

   \begin{array}{ccc}

      -0.920 \\

      -1.993 \\

      -5.036 \\

   \end{array}

   \right )

$$\newline

De même, pour le deuxième mode, de

$|P_{j2}P_{k2}|=2\delta_2\omega_2^2|H_{jk}(\omega_2)|$, nous

obtenons: \newline $P_{12}^2=5.24$, phase négative,

$P_{12}=-2.289$\newline $|P_{22}P_{12}|=5.496$, phase négative,

$P_{22}=-2.401$\newline $|P_{32}P_{12}|=17.008$, phase négative,

$P_{32}=7.43$\newline Soit

   $$\psi_2=\left (

   \begin{array}{ccc}

      -2.289 \\

      -2.401 \\

      7.43\\

   \end{array}

   \right )

$$\newline



Et pour le troisième mode, de

$|P_{j3}P_{k3}|=2\delta_3\omega_3^2|H_{jk}(\omega_3)|$, nous

obtenons: \newline $P_{13}^2=17.817$, phase négative,

$P_{13}=-4.221$\newline $|P_{23}P_{13}|=12.697$, phase négative,

$P_{23}=-2.401$\newline $|P_{33}P_{13}|=72.396$, phase négative,

$P_{33}=-17.151$\newline Soit

   $$\psi_3=\left (

   \begin{array}{ccc}

      -4.221 \\

      3 \\

      -17.151\\

   \end{array}

   \right )

$$

\newpage

Ainsi,les déformées modale de la poutre sont:

\InsFig{Deforme}{Déformées modales des pour les 3 premiers

modes}{}{0.8}



\newpage



\section{Les limites de la transformée de Fourier}



La transformée de Fourier analyse le "contenu fréquentiel" d'un

signal [3,9]. Ses nombreuses propriétés la rendent adaptée à

l'étude des opérateurs linéaires stationnaires, notamment la

dérivation.



La transformée de Fourier de f est: $$\int_{-\infty}^{+\infty}

f(t)e^{-j\omega t}dt=\mathcal{F}(f)$$



La transformée de Fourier est une représentation globale du

signal. Mais elle ne permet pas d'analyser son comportement

fréquentiel local, ni sa régularité locale. La condition de

convergence sur la transformée de Fourier n'indique que le pire

ordre de singularité. En pratique, si l'on inverse par exemple

l'ordre des données temporelles (le premier devient le dernier

etc.), on obtiendra exactement le même spectre. En conséquence, il

est devenu indispensable pour certaines applications de

représenter simultanément le signal en temps et en fréquence.





\subsection{Analyse temps-fréquence}



L'analyse spectrale classique est basée sur la transformation de

Fourier, c'est-à-dire sur une décomposition en ondes

monochromatiques éternelles. Cette approche trouve une limitation

naturelle dès lors que les signaux analysés sont non stationnaires

(fréquences évolutives, transitoires, ruptures, modulations, ...),

ce qui est bien souvent le cas dans les applications. Dans de

telles situations, une description plus pertinente consiste à

représenter un signal à l'aide de deux variables conjointes : le

temps et la fréquence. [9]



\InsFig{modulation}{Signal modulé en fréquences

(croissantes)}{}{0.8}



\InsFig{tempsfrequence}{Représentation temps-fréquence du signal

modulé}{}{0.4}



\subsection{La transformée en ondelettes (Wavelet Transform)}



La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la

transformée de Fourier par une famille de translations et

dilatations d'une même fonction : l'ondelette. Les paramètres de

translation u et de dilatation s sont les deux arguments de la

transformée en ondelettes. C'est une représentation temps-échelle

que l'on peut assimiler à une représentation temps-fréquence

[3,9].





\subsubsection{Principe}



La transformée en ondelettes est définie par :

$$Wf(u,s)=\int_{-\infty}^{+\infty}

f(t)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})dt$$ Où l'atome de base

$\psi$ est une fonction de moyenne nulle, centrée au voisinage de

0 et d'énergie finie. La famille de vecteurs est obtenue par

translation et dilatation de l'atome de base:

$\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})$ \newline La

fonction précédente est centrée au voisinage de u, comme l'atome

de Fourier fenêtré. Si le centre de fréquence de $\psi$ est $\eta$

, le centre de fréquence de la fonction dilatée est en

$\frac{\eta}{s}$ . L'écart type en temps est proportionnel à s.

L'écart type en fréquence est inversement proportionnel à s. Voici

un exemple de boîtes de Heisenberg d'atomes d'ondelettes:



\InsFig{heisenberg}{Principe de la représentation en

Ondelettes}{}{0.65}



Aux échelles plus fines, on peut "entasser" plus de boîtes de

Heisenberg côte à côte car la résolution temporelle est meilleure.



\subsubsection{Scalogramme}



En notant $\eta$ le centre de fréquence de l'ondelette

élémentaire, le centre de fréquence d'une ondelette dilatée est

$\frac{\eta}{s}$. Le scalogramme d'un signal est défini par

:\newline

$$P_Wf(u,\xi)=|Wf(u,s)|^2=|Wf(u,\frac{\eta}{\xi})|^2$$



En ce qui concerne la transformée en ondelette continue, une

ondelette est une fonction d'énergie finie et de moyenne nulle.

Outre sa boîte de Heisenberg, la propriété la plus d'importante

d'une ondelette est le nombre de ses moments nuls:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(t)dt=0$$ pour $0\leq k \leq n$

La nullité des moments d'une ondelette permet d'analyser la

régularité locale d'un signal.



\subsubsection{Exemple d'ondelette mère : Morlet}



Certaines applications ont de meilleurs résultats avec une

ondelette mère qu'avec une autre. Par exemple pour la détection de

discontinuités, l'ondelette appelée " chapeau mexicain " a de

meilleurs résultats. L'ondelette de Morlet (gaussienne modulée)

est aussi bien utilisée pour l'analyse de parole que pour

l'analyse de signaux sismiques. Les deux conviennent parfaitement

pour des signaux très amortis. Ce sont des ondelettes complexes

(l'information de phase est conservée).



On définit l'ondelette de Morlet  par :

$\psi(t)=e^{j\omega_ot}e^{\frac{-t^2}{2}}$ de transformée de

Fourier $

\Psi(\omega)=\sqrt(2)e^{\frac{-(\omega-\omega_0)^2}{2}}$.\newline

L'ondelette fille est:

$\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})=\frac{1}{\sqrt{s}}e^{j\omega_o(\frac{t-u}{s})}e^{0.5(\frac{t-u}{s})^2}$

 \InsFig{Morlet1}{partie réelle et partie

imaginaire de l'ondelette de Morlet (signal temporel)}{}{0.6} Elle

n'a pas de moyenne nulle (sur la transformée de Fourier de

l'ondelette, il y a une composante DC avec une valeur de 10-6,

$\omega_o=5.486$ rad/s. On utilise couramment une valeur entre 5

et 6 [9]. Cette ondelette est donc admissible pour de très petites

valeurs de DC.\newline  \InsFig{Morlet2}{domaine fréquentiel de

l'ondelette de Morlet}{}{0.4} Par exemple: $x(t)=\sin(40\pi

t)e^{-100\pi(t-0.2)^2}+[\sin(40\pi t)+2\sin(160\pi t)e^{-50\pi

(t-0.5)^2}+2\sin(160\pi t)e^{-100\pi(t-0.8)^2}]$, obtenu avec 2048

échantillons de la gamme [0;2]. \InsFig{scalomorlet}{Scalogramme

de x(t) calculé avec une ondelette de Morlet}{}{0.9}



La relation entre le paramètre d'échelle et la fréquence est

donnée par:\newline

$$f_x=\frac{f_0f_e}{sf_w}$$ \newline Avec s l'échelle, $f_x$ la

fréquence d'analyse, $f_e$ la fréquence d'échantillonnage du

signal et $f_w$ la fréquence d'échantillonnage de l'ondelette

[5,6].





\newpage

\subsection{Analyse de régularité}



L'analyse de Fourier permet de caractériser la régularité globale

d'une fonction [3]. La transformée en ondelettes permet d'analyser

la régularité ponctuelle d'une fonction. \InsFig{regularite}{En

haut le signal et en bas le module de sa transformée en ondelettes

}{}{0.6} La transformée en ondelettes est calculée avec la dérivée

d'une gaussienne. Les échelles les plus fines sont en haut. Les

coefficients nuls correspondent à du gris moyen. Les parties

régulières sont donc en gris moyen. On peut remarquer la trace

conique des singularités isolées.



\subsection{Détection de singularités}

Les maxima du module de la transformée en ondelettes sont liés aux

singularités du signal. Plus précisément, le théorème de Hwang et

Mallat [3] montre qu'il ne peut y avoir de singularité sans

maximum local de la transformée en ondelettes dans les échelles

fines. Ce théorème indique la présence d'un maximum dans les

échelles fines en cas de singularité. En général, on détecte une

suite de modules maximaux convergeant vers la singularité. Voici

les modules maximaux de l'exemple précédent:

\InsFig{singularite}{Mise en évidence des lignes de maxima (en

jaune)}{}{0.6} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un

moniteur en niveau de gris). Comme log2(s) est

>=0 du fait de la discrétisation, on se limite à $log_2(s)\geq 1$

sur les ondelettes pour rester dans le cadre de l'approximation

continue. Le taux de décroissance des maxima le long des courbes

indique l'ordre des singularités isolées (c'est une conséquence

des théorèmes précédents étendus à l'intervalle):

$$\log_2|Wf(u,s)|\leq \log_2 A+(\alpha+\frac{1}{2})\log_2 s$$

Graphiquement, on trace les modules maximaux en fonction de

l'échelle dans un diagramme log-log, et la pente donne l'ordre de

singularité estimé. Les courbes de la figure 2.13 sont

représentées pour deux singularités: en trait plein, pour la

singularité en t=14, et en pointillés pour la singularité en

t=108. Les échelles fines sont à gauche.

\InsFig{exposant}{l'exposant de Lipschitz $\alpha$ est la pente

}{}{0.35} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un moniteur en

niveau de gris) Pour t=14, la pente vaut 1/2, et donc la fonction

y est Lipschitz 0, c'est-à-dire une discontinuité. En t=108, on a

à peu près une pente de 1, et donc la fonction y est Lipschitz

1/2.

\newpage





\end{sloppypar}

Dépendances logicielles:


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